Dış Kuvvet Teoremi
O merkezli çemberde P dış nokta; üst kesen P–A–D, alt kesen P–B–C; |PA| = x, |AD| = y, |PB| = z, |BC| = t iken x(x + y) = z(z + t) bağıntısının benzerlik ile ispatı.
Teorem
A, B, C, D noktaları O merkezli çember üzerinde olmak üzere, [PD] ile [PC] doğrularının kesim noktası P, |PA| = x, |AD| = y, |PB| = z, |BC| = t ise x(x + y) = z(z + t) dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
[AC] ve [BD] birleştirilir; çevre açı teoremiyle eş açılar bulunur; △PCA ~ △PDB benzerliği kurularak x(x + y) = z(z + t) elde edilir.- 1Yapı
A noktasını C noktasına birleştiren [AC] doğru parçasını, B noktasını D noktasına birleştiren [BD] doğru parçasını çizelim
İspat inşası; yardımcı üçgenler PCA ve PDB oluşturulur.
- 2Veri
m(PDB) = α
Veri ve tanım.
- 3Çıkarım
m(PDB) = α ⇒ AB yayının ölçüsü 2α ⇒ m(PCA) = α
P, A, D doğrusal olduğundan m(PDB) = m(ADB); çevre açı teoremiyle AB yayının ölçüsü 2α ve m(PCA) = α bulunur.
- 4Çıkarım
m(DPC) = β, m(PAC) = θ ⇒ m(PBD) = θ
BC yayını gören çevre açılar eşittir.
- 5Çıkarım
△PCA ~ △PDB
Üç açısı eşit olduğundan A.A.A. benzerlik.
- 6Çıkarım
PCA ~ PDB ⇒ |PC||PD| = |PA||PB| ⇒ z + tx + y = xz
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenar oranları eşittir; |PC| = z + t, |PD| = x + y.
- 7Sonuç
x(x + y) = z(z + t)
Adım 6'daki oran çapraz çarpım yapılarak sadeleştirilir.
Sonuç ∎
Dış kuvvet teoremi: x(x + y) = z(z + t) elde edilir. ∎Dış Kuvvet Teoremi Hakkında
Dış kuvvet teoremi, çember dışındaki P noktasından çizilen kesenlerle |PA|·(|PA| + |AD|) = |PC|·(|PC| + |CB|) veya |PA|2 = |PC|2 + |AC|·|CB| biçimindeki bağıntıları verir. TYT–AYT geometride çember dış nokta sorularının temelidir.
İspat, [AC] ve [BD] birleştirilir; çevre açı teoremiyle eş açılar bulunur; △PCA ~ △PDB benzerliği kurularak oran elde edilir. Kesişen kirişler iç kuvvet teoremi ön koşuldur. Teğet–kiriş kuvvet teoremi özel durumudur.
ÖSYM'de dış noktadan çizilen kesen–kiriş uzunluk sorularında doğrudan devreye girer. Adım adım kanıtı takip ederken benzerlik kurulumuna dikkat etmek, tüm kuvvet teoremlerini tek çatı altında anlamanıza katkı sağlar.
Dış kuvvet teoremi, TYT–AYT'de çember dış noktadan kesen–kiriş sorularının temelidir. Teğet–kiriş kuvvet teoremi (|PT|2 = |PB|·|PA|) bu teoremin özel durumudur. Benzerlik ispatı, kesişen kirişler iç kuvvet ispatıyla aynı tekniği paylaşır. Dış noktadan teğet çizildiğinde |PT|2 = |PB|·|PA| özel durumu devreye girer; genel dış kuvvet teoremi bu formülün kiriş kesim versiyonudur. Dış noktadan çizilen kesen ve kiriş uzunlukları arasındaki ilişki, teğet–kiriş kuvvet teoreminin genellenmesidir; benzerlik ispatı iç kuvvet ispatıyla aynı tekniği paylaşır.