30°-60°-90° Dik Üçgen
30° dar açılı dik üçgende hipotenüsün 2a, diğer dik kenarın a3 olduğunun eşkenar ve ikizkenar üçgen inşası ile ispatı.
Teorem
ABC dik üçgeninde [AB] ⊥ [BC], |AB| = a ve m(BCA) = 30° olmak üzere |AC| = 2a ve |BC| = a3'tür.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
B köşesinden [BC] ile 30° yapacak şekilde [BD] çizilerek ABD eşkenar ve BDC ikizkenar üçgen elde edilir; hipotenüs 2a bulunur, Pisagor ile |BC| = a3 hesaplanır.- 1Veri
ABC dik üçgen, [AB] ⊥ [BC], |AB| = a ve m(BCA) = 30° olsun.
- 2Yapı
B köşesinden hipotenüse, [BC] kenarıyla 30° açı yapacak şekilde [BD] doğru parçası çizilir (D ∈ [AC]).
Yardımcı doğru inşası
- 3Çıkarım
m(BAC) = 60° ve m(ABD) = 60° olduğundan ABD eşkenar üçgendir; |AB| = |BD| = |AD| = a.
90° − 30° = 60°; iki açısı 60° olan üçgen eşkenardır.
- 4Çıkarım
BDC ikizkenar üçgendir; |BD| = |DC| = a.
m(DBC) = m(BCA) = 30° olduğundan taban açıları eşit, ikizkenar üçgen oluşur.
- 5Çıkarım
|AC| = |AD| + |DC| = 2a.
D ∈ [AC] olduğundan hipotenüs iki parçanın toplamıdır.
- 6Çıkarım
(2a)² = a² + |BC|²
Pisagor bağıntısı — dik kenarlar |AB| = a ve |BC|
- 7Sonuç
|BC|² = 3a² ⇒ |BC| = a3
Denklem düzenlenir; |BC| uzunluk olduğundan pozitif kök alınır.
Sonuç ∎
30° dar açılı dik üçgende hipotenüs 2a, diğer dik kenar a3 birimdir: |AC| = 2a ve |BC| = a3. ∎30°-60°-90° Dik Üçgen Hakkında
30°–60°–90° dik üçgen teoremi, [AB] ⊥ [BC], |AB| = a ve m(BCA) = 30° iken |AC| = 2a ve |BC| = a3 olduğunu ifade eder. TYT geometrinin en sık kullanılan özel üçgenidir; ÖSYM'de eşkenar üçgen yüksekliği, trigonometri ve alan sorularında doğrudan uygulanır.
İspat, B köşesinden [BC] ile 30° yapacak şekilde [BD] çizilerek ABD eşkenar ve BDC ikizkenar üçgen elde edilir. Eşkenar üçgen iç açıları ve ikizkenar özellikleri ön koşuldur. AYT geometride 30°–60°–90° oranları (1 : 3 : 2), sinüs ve cosinüs değerlerinin geometrik türetiminde kullanılır.
Adım adım ispatı takip ederken eşkenar üçgen inşasının neden 60° açı verdiğine dikkat etmek, benzer yardımcı çizgi tekniklerini 15° ve 22,5° ispatlarında da uygulamanıza katkı sağlar.
30°–60°–90° üçgeninde kenar oranları 1 : 3 : 2 olarak TYT'nin vazgeçilmez ezber listesindedir. Eşkenar üçgen yüksekliği, trigonometri ve alan sorularında |AC| = 2a, |BC| = a3 sonuçları doğrudan uygulanır. AYT'de sin 30°, cos 30° ve sin 60° değerlerinin geometrik türetimi bu ispatla yapılır. Yardımcı [BD] inşasının neden eşkenar üçgen verdiğini anlamak, 15° ve 22,5° ispatlarına geçişi kolaylaştırır.