22,5° Dar Açılı Dik Üçgende Yükseklik
m(BCA) = 22,5° olan dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin |AC|/(22) olduğunun ikizkenar üçgen inşası ile ispatı.
Teorem
ABC dik üçgeninde [AB] ⊥ [BC], [BH] ⊥ [AC], |BH| = h ve m(BCA) = 22,5° olmak üzere |BH| = h = |AC|/(22)'dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
B köşesinden [BC] ile 22,5° yapacak şekilde [BK] çizilerek ABK ve BCK ikizkenar üçgenler elde edilir; BKH dik üçgeninde 45°-45°-90° bağıntısı ile h = x/(22) bulunur.- 1Veri
ABC dik üçgen, [AB] ⊥ [BC], [BH] ⊥ [AC], |BH| = h ve m(BCA) = 22,5° olsun.
- 2Yapı
B köşesinden hipotenüse, [BC] kenarıyla 22,5° açı yapacak şekilde [BK] doğru parçası çizilir (K ∈ [AC]).
Yardımcı doğru inşası
- 3Çıkarım
m(BAC) = 67,5° ve m(ABK) = 67,5° olduğundan ABK ikizkenar üçgendir; |AK| = |BK|.
90° − 22,5° = 67,5°; taban açıları eşit ikizkenar üçgen oluşur.
- 4Çıkarım
BCK ikizkenar üçgendir; |BK| = |CK|.
m(KBC) = m(BCA) = 22,5° olduğundan taban açıları eşit, ikizkenar üçgen oluşur.
- 5Çıkarım
|AC| = x alınırsa |AK| = |CK| = |BK| = x2 olur.
Adım 3 ve 4'ten |AK| = |BK| = |CK|; K ∈ [AC] ve |AK| + |CK| = x ⟹ her parça x2.
- 6Çıkarım
BKC ikizkenar üçgende m(BKC) = 180° − 22,5° − 22,5° = 135° olduğundan m(BKH) = 45°.
BKH ve BKC komşu açılardır ve toplamı 180°'dir.
- 7Sonuç
BKH dik üçgeninde m(BKH) = 45° olduğundan |BH| = h = |BK| / 2 = x / (22).
45°-45°-90° dik üçgende dik kenarlar birbirine eşit ve hipotenüsün 2'ye bölümüdür.
Sonuç ∎
22,5° dar açılı dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik |BH| = h = |AC| / (22) = |AC|2/ 4'tür. ∎22,5° Dar Açılı Dik Üçgende Yükseklik Hakkında
22,5° dar açılı dik üçgende yükseklik teoremi, m(BCA) = 22,5° olan ABC dik üçgeninde |BH| = |AC|22 bağıntısını verir. TYT–AYT geometride 22,5° ve 67,5° açılı yapılar, kare köşegenleri ve sekizgen sorularında karşılaşılan ileri bir sonuçtur.
İspat, B köşesinden 22,5° yapacak şekilde [BK] çizilerek ikizkenar üçgenler elde edilir; 45°–45°–90° özel üçgeni kritik ara adımı oluşturur. 15° ispatıyla benzer yapıdadır. ÖSYM'de yarım açı bölme ve özel trigonometrik değer sorularında bu bağıntı kullanılabilir.
Adım adım ispatı takip ederken 2 faktörünün nereden geldiğine dikkat etmek, kare köşegenleri ispatıyla birlikte okunduğunda 45° açı ailesinin tutarlılığını görmenizi sağlar.
22,5° açılı yapılar, kare köşegenleri ve düzenli sekizgen sorularında karşılaşılır; |BH| = |AC|22 bağıntısı bu bağlamda kullanışlıdır. İspatın 45°–45°–90° özel üçgenine dayanması, açı bölme zincirinin tutarlılığını gösterir. AYT trigonometride tan 22,5° gibi değerlerin geometrik kökeni bu yapıyla ilişkilidir. 15° ispatıyla birlikte okunduğunda dar açılı dik üçgen yükseklik formüllerinin ortak inşa mantığı netleşir. Kare köşegenleri ispatıyla birlikte okunduğunda 22,5° açı ailesinin 45° bölmesinden geldiği görülür; trigonometrik tabloda tan 22,5° değerinin kökeni bu yapıdadır.