15° Dar Açılı Dik Üçgende Yükseklik
m(BCA) = 15° olan dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin hipotenüsün dörtte birine eşit olduğunun ikizkenar üçgen inşası ile ispatı.
Teorem
ABC dik üçgeninde [AB] ⊥ [BC], [BH] ⊥ [AC], |BH| = h ve m(BCA) = 15° olmak üzere |BH| = h = |AC|4'tür.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
B köşesinden [BC] ile 15° yapacak şekilde [BK] çizilerek ABK ve BCK ikizkenar üçgenler elde edilir; BKH dik üçgeninde 30°-60°-90° bağıntısı ile h = x4 bulunur.- 1Veri
ABC dik üçgen, [AB] ⊥ [BC], [BH] ⊥ [AC], |BH| = h ve m(BCA) = 15° olsun.
- 2Yapı
B köşesinden hipotenüse, [BC] kenarıyla 15° açı yapacak şekilde [BK] doğru parçası çizilir (K ∈ [AC]).
Yardımcı doğru inşası
- 3Çıkarım
m(BAC) = 75° ve m(ABK) = 75° olduğundan ABK ikizkenar üçgendir; |AK| = |BK|.
90° − 15° = 75°; A ve B köşelerindeki eşit açılara karşılık gelen kenarlar eşittir.
- 4Çıkarım
BCK ikizkenar üçgendir; |BK| = |CK|.
m(KBC) = m(BCA) = 15° olduğundan taban açıları eşit, ikizkenar üçgen oluşur.
- 5Çıkarım
|AC| = x alınırsa |AK| = |CK| = |BK| = x2 olur.
Adım 3 ve 4'ten |AK| = |BK| = |CK|; K ∈ [AC] ve |AK| + |CK| = x ⟹ her parça x2.
- 6Çıkarım
BKC ikizkenar üçgende m(BKC) = 180° − 15° − 15° = 150° olduğundan m(BKH) = 30°.
BKH ve BKC komşu açılardır ve toplamı 180°'dir.
- 7Çıkarım
BKH dik üçgeninde m(BKH) = 30° olduğundan |BH| = h = |BK|2 = x4.
30°-60°-90° dik üçgende dar açıya karşı kenar hipotenüsün yarısıdır.
- 8Sonuç
|BH| = h = x4 = |AC|4
Adım 5 ve 7 birleştirilerek sonuç elde edilir.
Sonuç ∎
15° dar açılı dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik hipotenüsün dörtte biridir: |BH| = h = |AC|4. ∎15° Dar Açılı Dik Üçgende Yükseklik Hakkında
15° dar açılı dik üçgende yükseklik teoremi, m(BCA) = 15° olan ABC dik üçgeninde hipotenüse indirilen yüksekliğin |BH| = |AC|4 olduğunu belirtir. TYT–AYT geometride ileri düzey özel açı sorularının nadir ama özgün sonuçlarından biridir.
İspat, B köşesinden 15° yapacak şekilde [BK] çizilerek ABK ve BCK ikizkenar üçgenler elde edilir; 30°–60°–90° ve 45°–45°–90° özel üçgenleri birleştirir. ÖSYM'de 15° ve 75° açılı yapılar, yarım açı bölme sorularında bu bağıntı pratik bir kontrol aracıdır.
30°–60°–90° ispatını önceden bilmek önemlidir. Adım adım kanıtı takip ederken ikizkenar üçgen inşasının hangi açıları eşitlediğini izlemek, benzer "açı bölme" ispatlarını anlamanıza yardımcı olur.
|BH| = |AC|4 sonucu, 15°–75°–90° dik üçgen yapısının pratik bir sonucudur. AYT'de yarım açı bölme ve özel trigonometrik değer sorularında bu bağıntı kullanılabilir. İspatın 30°–60°–90° ve ikizkenar üçgen inşasına dayanması, açı bölme tekniklerinin nasıl birleştiğini gösterir. TYT'de hipotenüse yükseklik sorularında 15° açı verildiğinde sonucu doğrudan yazmak süreyi kısaltır. İspatı takip ederken 15° açı bölme adımının 30°–60°–90° yapısından nasıl türetildiğini not etmek, benzer yarım açı ispatlarında aynı inşa tekniğini uygulamanıza yardımcı olur.