Yamukta Köşegenlerden Geçen Paralel Segment
ABCD yamuğunda köşegenlerin kesim noktası P, [AD] // [MN] // [BC] ve P ∈ [MN] iken |MP| = |PN| = x ve x = a · ba + b bağıntılarının Tales ve benzerlik ile ispatı.
Teorem
ABCD bir yamuk, köşegenlerin kesim noktası P, [AD] // [MN] // [BC], P ∈ [MN], |AD| = a, |BC| = b, |MP| = x ise |MP| = |PN| = x ve x = a · ba + b dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
Tales teoremiyle yan kenar oranları yazılır; BPM ~ BDA ve CPN ~ CAD benzerlikleriyle |MP| = |PN| = x elde edilir; ADP ~ CBP ile x = aba+b bulunur.- 1Çıkarım
|MA| = m, |MB| = n olsun; [AD] // [MN] // [BC] olduğundan |MA||MB| = |DN||NC| (Tales)
Paralel doğrular kırık doğruyu eşit oranlarda böler.
- 2Çıkarım
|DN| = m · k ve |NC| = n · k
Adım 1'deki orandan |DN||NC| = mn; ortak çarpan k ile yazılır.
- 3Çıkarım
BPM ~ BDA ⇒ |BM||BA| = |MP||AD| ⇒ nm + n = xa (1)
[MN] // [AD]; A.A. benzerlik.
- 4Çıkarım
CPN ~ CAD ⇒ |CN||CD| = |PN||AD| ⇒ n · k(m + n) · k = |PN|a ⇒ nm + n = |PN|a (2)
[MN] // [AD]; A.A. benzerlik; k sadeleşir.
- 5Sonuç
(1) ve (2) ⇒ |PN| = x ⇒ |MP| = |PN| = x
(1) ve (2)'de aynı oran nm + n = xa yazıldığından |PN| = |MP| = x.
- 6Veri
|BP| = t ve |PD| = r olsun.
İkinci sonuç için köşegen parçaları tanımlanır.
- 7Çıkarım
ADP ~ CBP ⇒ |DP||BP| = |AD||CB| ⇒ rt = ab (3)
Köşegenlerle oluşan △ADP ve △CBP; [AD] // [BC] olduğundan A.A. benzerlik.
- 8Çıkarım
BPM ~ BDA ⇒ |BP||BD| = |MP||AD| ⇒ tt + r = xa ⇒ 1 + rt = ax (4)
Adım 3'teki benzerlik; tt+r = xa ters çevrilir.
- 9Sonuç
(3) ve (4) ⇒ 1 + ab = ax ⇒ a + bb = ax ⇒ x = a · ba + b
rt = ab değeri (4)'te yerine konur; x çözülür.
Sonuç ∎
Yamukta köşegenlerden geçen paralel segment için |MP| = |PN| = x ve x = a · ba + b elde edilir. ∎Yamukta Köşegenlerden Geçen Paralel Segment Hakkında
Yamukta köşegenlerden geçen paralel segment teoremi, [AD] // [MN] // [BC], P köşegen kesişimi iken |MP| = |PN| = aba + b olduğunu belirtir. TYT–AYT geometride yamuk paralel segment sorularının ileri sonuçlarından biridir. aba + b formu harmonik ortalama bağlantısı taşır; üç paralel doğru bağıntısı ispatıyla ilişkilidir.
İspat, Tales teoremiyle yan kenar oranları yazılır; BPM ~ BDA ve CPN ~ CAD benzerlikleriyle x = aba + b elde edilir. Yamuk orta taban ve benzerlik ön koşuldur. P köşegen kesişim noktasının oranları benzerlik kurulumunun merkezinde yer alır.
ÖSYM'de yamuk köşegen kesişiminden geçen paralel sorularında doğrudan uygulanır. Adım adım ispatı takip ederken harmonik ortalama bağlantısına dikkat etmek, paralel oran araç setini bütünleşik anlamanıza katkı sağlar.
|MP| = aba + b formülü, TYT–AYT'de yamuk köşegen kesişiminden geçen paralel sorularının ileri aracıdır. Harmonik ortalama bağlantısı üç paralel doğru ispatıyla ilişkilidir. |MP|=aba+b harmonik ortalama formülüdür; üç paralel doğru ispatındaki 1x=1y+1z bağıntısıyla aynı aileden gelir ve TYT oran sorularında birlikte düşünülmelidir. Harmonik ortalama formülü aba+b, üç paralel doğru ispatındaki 1x=1y+1z bağıntısıyla aynı aileden gelir; oran sorularında birlikte düşünülmelidir.