İç Açıortay ve Paralel Doğrularla Çevre Bağıntısı
İç açıortayların kesim noktası M'den [AB]'ye paralel [MK] ve [AC]'ye paralel [MN] çizildiğinde |MK| = y, |MN| = z, |KN| = x olmak üzere Ç(ABC) = (x+y+z)²x bağıntısının ikizkenar üçgen ve benzerlik ile ispatı.
Teorem
ABC bir üçgen, M iç açıortayların kesim noktası, K ve N ∈ [BC], [MK] // [AB], [MN] // [AC], |MK| = y, |MN| = z, |KN| = x olmak üzere Ç(ABC) = (x+y+z)²x dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
Paralellikten ikizkenar BMK ve CMN üçgenleri elde edilir; taban parçaları toplanıp ABC ~ MKN benzerliği kurulur, çevre oranı ile sonuç çıkarılır.- 1Veri
ABC bir üçgen, M iç açıortayların kesim noktası, K ve N ∈ [BC], [MK] // [AB], [MN] // [AC], |MK| = y, |MN| = z, |KN| = x olsun.
- 2Çıkarım
[BM] ve [CM] iç açıortaydır.
M noktası iç açıortayların kesim noktası olduğundan B ve C köşelerindeki açıortaylar M'den geçer.
- 3Çıkarım
m(ABM) = m(BMK) = α ve m(ACM) = m(CMN) = θ
[MK] // [AB] ve [MN] // [AC] olduğundan iç ters açılar eşittir.
- 4Çıkarım
BMK ve CMN ikizkenar üçgenlerdir; |MK| = |BK| = y ve |MN| = |CN| = z
Adım 3'teki eş açılara karşılık gelen kenarlar eşittir.
- 5Çıkarım
|BC| = |BK| + |KN| + |CN| = y + x + z
K ve N, [BC] üzerinde B-K-N-C sırasıyla yer alır; Adım 4'teki eşitlikler yazılır.
- 6Çıkarım
ABC ~ MKN
[MK] // [AB] ve [MN] // [AC] olduğundan m(BAC) = m(KMN) ve m(ABC) = m(MKN); A.A. benzerlik.
- 7Çıkarım
Ç(ABC)Ç(MKN) = |BC||KN| = x+y+zx
Benzer üçgenlerde çevreler oranı, karşılıklı kenarlar oranına eşittir — (1).
- 8Çıkarım
Ç(MKN) = |MK| + |MN| + |KN| = x + y + z
MKN üçgeninin kenar uzunlukları toplanır.
- 9Sonuç
Ç(ABC) = (x+y+z)²x
(1)'de Ç(MKN) = x+y+z yerine yazılır ve düzenlenir.
Sonuç ∎
İç açıortay-paralel çevre bağıntısı: Ç(ABC) = (x+y+z)²x dir. ∎İç Açıortay ve Paralel Doğrularla Çevre Bağıntısı Hakkında
İç açıortay ve paralel doğrularla çevre bağıntısı, M iç açıortay merkezi, [MK] // [AB], [MN] // [AC] iken |MK| + |MN| = |AB| + |AC| - |BC|2 formülünü verir. TYT–AYT geometride iç açıortay merkezi ve çevre sorularının özgün sonuçlarından biridir.
İspat, paralellikten ikizkenar BMK ve CMN üçgenleri elde edilir; taban parçaları toplanıp ABC ~ MKN benzerliği kurulur. İç açıortay teoremi ve benzerlik ön koşuldur. ÖSYM'de iç açıortay merkezi ve paralel segment sorularında bu çevre bağıntısı kullanılabilir.
Adım adım kanıtı takip ederken paralel inşanın çevreyi nasıl böldüğüne dikkat etmek, benzer "paralel toplamı" ispatlarıyla (eşkenar üçgen) karşılaştırma yapmanıza katkı sağlar.
Çevre bağıntısı, iç açıortay merkezi M'den kenarlara paralel çizildiğinde oluşan toplam uzunlukları verir. TYT–AYT'de iç açıortay merkezi ve paralel segment sorularında pratik bir araçtır. İspatın ikizkenar BMK ve CMN üçgenleri inşası, paralel toplamı ispatlarıyla (eşkenar üçgen) ortak mantık paylaşır. İç açıortay merkezi M'den kenarlara paralel çizmenin çevre uzunluklarını nasıl sadeleştirdiğini şekil üzerinde takip etmek, ispatın özünü kavramanızı sağlar.