Stewart Bağıntısı
Bir üçgende tabana çizilen cevian uzunluğunun, komşu kenarlar ve taban parçaları cinsinden cosinüs teoremi ile elde edilen bağıntının ispatı.
Teorem
ABC bir üçgen, K ∈ [BC], |AB| = p, |AC| = q, |AK| = x, |BK| = m ve |KC| = n olmak üzere x² = q²m + p²nm+n - mn dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
ACK ve ACB üçgenlerinde cosinüs teoremi uygulanıp cosα eşitlenir; cebirsel sadeleştirmeyle x² bağıntısı elde edilir.- 1Veri
ABC bir üçgen, K ∈ [BC], |AB| = p, |AC| = q, |AK| = x, |BK| = m, |KC| = n ve m(ACB) = α olsun.
- 2Çıkarım
x² = q² + n² - 2·q·n·cosα
ACK üçgeninde cosinüs teoremi — (1).
- 3Çıkarım
p² = q² + (m+n)² - 2·q·(m+n)·cosα
ACB üçgeninde cosinüs teoremi — (2).
- 4Çıkarım
x² - q² - n²n = p² - q² - (m+n)²m+n
(1) ve (2)'den cosα çözülüp eşitlenir; her iki tarafta -2q sadeleşir.
- 5Çıkarım
x² - q²n - n = p² - q²m+n - (m+n)
Adım 4'te her iki tarafa n ve (m+n) eklenerek düzenlenir.
- 6Çıkarım
x² = q² + n(p² - q²)m+n - mn
Adım 5'ten x² yalnız bırakılır.
- 7Çıkarım
x² = q²m + q²n + p²n - q²nm+n - mn
q² + n(p² - q²)m+n ortak paydada toplanır.
- 8Sonuç
x² = q²m + p²nm+n - mn
Pay sadeleştirilerek Stewart bağıntısı elde edilir.
Sonuç ∎
Stewart bağıntısı: x² = q²m + p²nm+n - mn dir. ∎Stewart Bağıntısı Hakkında
Stewart bağıntısı, ABC üçgeninde K ∈ [BC], |AK| = x iken x2 = q2 m + p2 nm+n − mn formülünü verir; p = |AB|, q = |AC|, m = |BK|, n = |KC|. TYT–AYT geometride cevian (kenardan karşı köşeye çizgi) uzunluğu sorularının genel formülüdür.
İspat, ACK ve ACB üçgenlerinde cosinüs teoremi uygulanıp cos α eşitlenir; cebirsel sadeleştirmeyle x2 bağıntısı elde edilir. Cosinüs teoremi ön koşuldur. ÖSYM'de kenarortay, açıortay ve yardımcı cevian uzunluğu sorularında Stewart formülü kullanılır; kenarortay uzunluk bağıntısı özel durumudur.
Adım adım ispatı takip ederken cos α eşitlemesinin tekniğine dikkat etmek, iç/dış açıortay uzunluk ispatlarında aynı yöntemi tanımanıza katkı sağlar.
Stewart bağıntısı, AYT geometride cevian uzunluğu sorularının genel formülüdür. Kenarortay uzunluk bağıntısı Stewart'ın özel durumudur (m = n = a2). ÖSYM'de yardımcı cevian uzunluğu sorularında cos α eşitlemesi tekniği standart çözüm yoludur. İç/dış açıortay uzunluk ispatları da aynı tekniği paylaşır. Cevian uzunluğu sorularında Stewart formülü, cosinüs teoremi uygulamasından genellikle daha az adımda sonuç verir; ispatındaki cos α eşitlemesini anlamak formülü türetmenin en iyi yoludur.