Seva Teoremi
Bir üçgende üç cevianın iç bir noktada kesişmesi durumunda kenar parçaları oranlarının çarpımının 1'e eşit olduğunun Menelaus teoremi ile ispatı.
Teorem
[AD], [BE] ve [CF] doğru parçaları ABC üçgeninin bir iç bölgesindeki K noktasında kesişiyorsa |CD||DB| · |BF||FA| · |AE||EC| = 1 dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
Menelaus teoremi iki kez farklı üçgen ve kesiçi doğruya uygulanır; elde edilen iki eşitlik taraf tarafa oranlanarak Seva bağıntısı elde edilir.- 1Veri
[AD], [BE] ve [CF] doğru parçaları ABC üçgeninin iç bir K noktasında kesişiyor olsun.
- 2Çıkarım
|CD||CB| · |BF||FA| · |AK||KD| = 1
ABD üçgenine C-F-K kesiçi doğrusu için Menelaus teoremi uygulanır — (1).
- 3Çıkarım
|BD||BC| · |CE||EA| · |AK||KD| = 1
ACD üçgenine B-E-K kesiçi doğrusu için Menelaus teoremi uygulanır — (2).
- 4Çıkarım
|CD||CB| · |BF||FA| · |AK||KD| = |BD||BC| · |CE||EA| · |AK||KD|
(1) ve (2) denklemleri taraf tarafa oranlanır; her ikisi de 1'e eşit olduğundan birbirine eşittir.
- 5Sonuç
|CD||DB| · |BF||FA| · |AE||EC| = 1
|AK||KD| sadeleşir; |CD||CB| · |BC||BD| = |CD||DB| ve |CE||EA| tersine çevrilip |AE||EC| olur. Seva bağıntısı elde edilir.
Sonuç ∎
Seva teoremi: |CD||DB| · |BF||FA| · |AE||EC| = 1 dir. ∎Seva Teoremi Hakkında
Seva teoremi, [AD], [BE] ve [CF] doğrularının ABC üçgeninin içindeki K noktasında kesişmesi durumunda |CD||DB|·|AE||EC|·|BF||FA| = 1 bağıntısını verir. AYT geometrinin ileri teoremlerinden biridir; ağırlık merkezi, iç açıortay merkezi ve kenarortay kesişimlerinin doğruluğunu kontrol etmek için kullanılır.
İspat, Menelaus teoremi iki kez farklı üçgen ve kesiçi doğruya uygulanır; elde edilen eşitlikler birleştirilir. Menelaus teoremi ön koşuldur. ÖSYM'de "üç doğru tek noktada kesişir mi?" tipi sorularda Seva pratik bir araçtır.
Adım adım kanıtı takip ederken Menelaus uygulamalarının hangi üçgenlere yapıldığına dikkat etmek, cevian kesişim sorularında sistematik düşünme alışkanlığı kazandırır.
Seva teoremi, AYT'de "üç cevian tek noktada kesişir mi?" sorusunun standart kontrol aracıdır. Ağırlık merkezi, iç açıortay merkezi ve kenarortay kesişimlerinin doğruluğu Seva ile doğrulanır. Menelaus teoremi ispatını önceden bilmek zorunludur. ÖSYM'de ileri geometri sorularında oran çarpımının 1 olması beklenir. Oran çarpımının 1 olması, üç cevianın tek noktada kesiştiğinin gerekli ve yeterli koşuludur; Menelaus ile birlikte cevian–kesen dualitesini anlamak AYT ileri geometriye hazırlık sağlar.