Menelaus Teoremi
Bir üçgende kesen doğrunun kenarları ve uzantıyı kestiği noktalarda oluşan kenar parçaları oranlarının çarpımının 1'e eşit olduğunun benzerlik ile ispatı.
Teorem
ABC bir üçgen, B-C-D doğrusal, d doğrusu [AB]'yi F, [AC]'yi E ve [BC]'nin C ötesindeki uzantısını D noktasında kesiyorsa |DC||DB| · |BF||FA| · |AE||EC| = 1 dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
d doğrusu üzerinde K noktası alınır; [CK] // [AB] çizilerek DKC ~ DFB ve AFE ~ CKE benzerlikleri kurulur, oranlar çarpılarak Menelaus bağıntısı elde edilir.- 1Veri
ABC bir üçgen, B-C-D doğrusal, d doğrusu [AB]'yi F, [AC]'yi E ve [BC]'nin C ötesindeki uzantısını D noktasında kessin.
- 2Yapı
K ∈ d olmak üzere [CK] // [AB] olacak şekilde [CK] doğru parçası çizilir.
Yardımcı paralel doğru inşası
- 3Çıkarım
DKC ~ DFB
[CK] // [AB] olduğundan karşılıklı açılar eşit olur; D açısı ortak — A.A. benzerlik.
- 4Çıkarım
|DC||DB| · |BF||KC| = 1
DKC ~ DFB benzerliğinden karşılıklı kenar oranları eşitlenir — (1).
- 5Çıkarım
AFE ~ CKE
[CK] // [AB] olduğundan karşılıklı açılar eşit olur; E açısı ortak — A.A. benzerlik.
- 6Çıkarım
|KC||AF| · |AE||EC| = 1
AFE ~ CKE benzerliğinden |AF||KC| = |AE||EC| yazılıp düzenlenir — (2).
- 7Çıkarım
|DC||DB| · |BF||KC| · |KC||AF| · |AE||EC| = 1
(1) ve (2) denklemleri taraf tarafa çarpılır.
- 8Sonuç
|DC||DB| · |BF||FA| · |AE||EC| = 1
|KC| ortadan sadeleşir; Menelaus bağıntısı elde edilir.
Sonuç ∎
Menelaus teoremi: |DC||DB| · |BF||FA| · |AE||EC| = 1 dir. ∎Menelaus Teoremi Hakkında
Menelaus teoremi, ABC üçgeninde B–C–D doğrusal, d doğrusunun kenarları kestiği noktalarla |AE||EB|·|BD||DC|·|CF||FA| = 1 bağıntısını verir. AYT geometrinin ileri oran teoremlerinden biridir; TYT'de benzerlik temelli sorularda dolaylı kullanılır.
İspat, d doğrusu üzerinde K noktası alınır; [CK] // [AB] çizilerek DKC ~ DFB ve AFE ~ CKE benzerlikleri kurulur. Benzerlik ve oran özelliklerini bilmek ön koşuldur. ÖSYM'de collinearity (doğrusallık) ve kesen doğru sorularında Menelaus pratik bir kontrol aracıdır.
Seva teoremi ile birlikte okunduğunda cevian ve kesen doğru sistemlerinin dual yapısı görülür. Adım adım ispatı takip ederken paralel inşanın benzerlikleri nasıl ürettiğine dikkat etmek, ileri geometri ispatlarına hazırlık sağlar.
Menelaus teoremi, AYT geometride collinearity ve kesen doğru sorularının ileri aracıdır. TYT'de benzerlik temelli oran sorularında dolaylı kullanılır. Seva teoremi ile dual yapıdadır: Menelaus doğrusal noktalar, Seva eşzamanlı kesişim için kullanılır. Paralel inşalı benzerlik ispatı, iç açıortay teoremi ispatıyla aynı tekniği paylaşır. Sınavda tam ispat yazarken paralel [CK] // [AB] inşasını ve elde edilen benzerlikleri adım adım belirtmek, oran çarpımının 1 olmasının gerekçesini netleştirir.