Ortak Açılı Üçgenlerin Alan Oranı
Aynı köşede ortak açıya sahip iki üçgende alanların, kenar oranlarının çarpımına bölünmesiyle elde edilen bağıntının sinüs alan formülü ile ispatı.
Teorem
ABC bir üçgen, A(ABC) = S, E ∈ [AB], D ∈ [BC], |EB||AB| = 1k, |DB||CB| = 1p ve k, p ≠ 0 olmak üzere A(EBD) = Sk·p dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
EBD ve ABC üçgenleri B köşesinde ortak α açısını paylaşır; sinüs alan formülü her ikisine uygulanıp taraf tarafa oranlanınca sinα sadeleşir.- 1Veri
A(ABC) = S, E ∈ [AB], D ∈ [BC], |EB||AB| = 1k, |DB||CB| = 1p ve m(ABC) = α olsun.
- 2Çıkarım
A(EBD) = 12·|EB|·|BD|·sinα
EBD üçgeninde sinüs alan formülü — (1).
- 3Çıkarım
A(ABC) = 12·|AB|·|CB|·sinα = S
ABC üçgeninde sinüs alan formülü — (2).
- 4Çıkarım
A(EBD)S = |EB||AB| · |BD||CB|
(1) ve (2) taraf tarafa oranlanır; 12·sinα sadeleşir.
- 5Sonuç
A(EBD) = Sk·p
Verilen oranlar yerine yazılır: 1k · 1p = 1k·p.
Sonuç ∎
Ortak açılı iç üçgen alan bağıntısı: A(EBD) = Sk·p dir. ∎Ortak Açılı Üçgenlerin Alan Oranı Hakkında
Ortak açılı üçgenlerin alan oranı teoremi, E ∈ [AB], D ∈ [BC] olmak üzere A(EBD)A(ABC) = 1k·p bağıntısını verir; k ve p kenar oranlarıdır. TYT–AYT geometride alan oranı ve benzerlik sorularının temelidir.
İspat, EBD ve ABC üçgenlerinin B köşesinde ortak α açısını paylaştığını gösterir; sinüs alan formülü her ikisine uygulanıp oran alınır. Sinüs alan formülünü bilmek ön koşuldur. ÖSYM'de iç üçgen alanı, taban ve kenar oranı verildiğinde alan bulma sorularında kullanılır.
Adım adım ispatı takip ederken sin α'nın neden sadeleştiğine dikkat etmek, benzer üçgen alan oranı ispatıyla birlikte okunduğunda alan oranı araç setinin bütünlüğünü görmenizi sağlar.
A(EBD)A(ABC) = 1kp formülü, TYT–AYT'de iç üçgen alanı sorularının standart aracıdır. Sinüs alan formülünde ortak α açısının sadeleşmesi, ispatın anahtar adımıdır. Benzer üçgen alan oranı ispatıyla birlikte okunduğunda alan oranı araç seti tamamlanır. B köşesindeki ortak α açısının sinüs alan formülünden sadeleşmesi, benzer üçgen alan oranı ispatındaki yükseklik sadeleşmesiyle aynı mantığı paylaşır. k ve p oranları kenar bölme oranlarıdır; sin α sadeleşmesi sayesinde açı değeri bilinmeden alan oranı bulunabilir — bu TYT alan sorularında büyük avantaj sağlar.