Kenarortay ve Yükseklik Fark Bağıntısı
m(ACB) > m(ABC) olan üçgende kenarortay ayağı D ile yükseklik ayağı H arasındaki |DH| = x mesafesi için c² − b² = 2 · a · x bağıntısının Pisagor ile ispatı.
Teorem
ABC bir üçgen, m(ACB) > m(ABC), [AD] kenarortay, |BC| = a, |AB| = c, |AC| = b ve |DH| = x olmak üzere c² − b² = 2 · a · x dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
D ile H arasında B — D — H — C dizilimi kullanılır; ABH ve ACH dik üçgenlerinde Pisagor bağıntısı yazılıp taraf tarafa çıkarılarak c² − b² = 2 · a · x elde edilir.- 1Veri
ABC bir üçgen, m(ACB) > m(ABC), [AD] kenarortay, |BC| = a, |AB| = c, |AC| = b, [AH] ⊥ [BC], H ayak noktası ve |DH| = x olsun.
Veri — m(ACB) > m(ABC) olduğundan H, D ile C arasında kalır.
- 2Çıkarım
ABH dik üçgeninde c² = h² + a2 + x²
Pisagor bağıntısı; |BH| = |BD| + |DH| = a2 + x — (1)
- 3Çıkarım
ACH dik üçgeninde b² = h² + a2 − x²
Pisagor bağıntısı; |HC| = |DC| − |DH| = a2 − x — (2)
- 4Çıkarım
c² − b² = a2 + x² − a2 − x²
(1) ve (2) taraf tarafa çıkarılır; h² terimleri sadeleşir.
- 5Çıkarım
c² − b² = a2 + x + a2 − x · a2 + x − a2 + x = a · 2x
[a2 + x + a2 − x] · [a2 + x − a2 − x] özdeşliği (iki kare farkı) uygulanır.
- 6Sonuç
c² − b² = 2 · a · x
Adım 5 düzenlenerek sonuç elde edilir.
Sonuç ∎
m(ACB) > m(ABC) iken kenarortay ayağı ile yükseklik ayağı arasında c² − b² = 2 · a · x dir. ∎Kenarortay ve Yükseklik Fark Bağıntısı Hakkında
Kenarortay ve yükseklik fark bağıntısı, m(ACB) > m(ABC) olan ABC üçgeninde c2 − b2 = 2·a·x formülünü verir; x = |DH|, D kenarortay ayağı, H yükseklik ayağıdır. TYT–AYT geometride kenarortay–yükseklik kombinasyonlu soruların temelidir.
İspat, D ile H arasında B–D–H–C dizilimini kullanır; ABH ve ACH dik üçgenlerinde Pisagor bağıntısı uygulanır. Pisagor ve kenarortay tanımını bilmek ön koşuldur. ÖSYM'de kenarortay ayak noktası ve yükseklik ayak noktası arasındaki mesafe sorularında bu formül doğrudan devreye girer.
Adım adım kanıtı takip ederken dizilim varsayımının neden gerekli olduğuna dikkat etmek, kenarortay uzunluk bağıntısı ispatıyla birlikte okunduğunda kenarortay sisteminin bütünlüğünü görmenizi sağlar.
c2 − b2 = 2ax formülü, kenarortay ayak noktası D ile yükseklik ayak noktası H arasındaki mesafeyi hesaplamak için kullanılır. TYT–AYT'de kenarortay–yükseklik kombinasyonlu sorularda B–D–H–C dizilimi kritik varsayımdır. ÖSYM'de açısı farklı iki kenarlı üçgende kenarortay ve yükseklik birlikte verildiğinde bu bağıntı devreye girer. Pisagor bağıntısının iki dik üçgende uygulanması, ispatın temel yapı taşıdır. Sınavda tam ispat yazarken B–D–H–C dizilimini şekil üzerinde göstermek ve her dik üçgende hangi Pisagor eşitliğinin yazıldığını adım adım belirtmek gerekir.