Eşkenar Üçgende Dikmelerin Toplamı
Eşkenar ABC üçgeninin bir iç noktası P'den kenarlara indirilen dikmeler ile A'dan [BC]'ye indirilen yükseklik arasında |PD| + |PE| + |PF| = |AH| bağıntısının alan yöntemiyle ispatı.
Teorem
ABC bir eşkenar üçgen; P üçgenin bir iç noktası, D ∈ [AB], E ∈ [BC], F ∈ [AC], [PD] ⊥ [AB], [PE] ⊥ [BC], [PF] ⊥ [AC], [AH] ⊥ [BC] ise |PD| + |PE| + |PF| = |AH| dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
P noktası ABC'nin köşelerine birleştirilerek alan bölme uygulanır; eşkenar kenar uzunlukları ile sadeleştirilir.- 1Veri
ABC bir eşkenar üçgen; P üçgenin bir iç noktası, D ∈ [AB], E ∈ [BC], F ∈ [AC], [PD] ⊥ [AB], [PE] ⊥ [BC], [PF] ⊥ [AC], [AH] ⊥ [BC] olsun.
Veri ve tanımlar
- 2Yapı
P noktasını ABC eşkenar üçgeninin köşelerine birleştiren doğru parçalarını çizersek;
Yardımcı yapı — alan bölme.
- 3Çıkarım
A(ABC) = A(ABP) + A(BCP) + A(CAP) yazılabilir.
[AP], [BP] ve [CP] doğruları ABC üçgenini üç alt üçgene böler.
- 4Çıkarım
A(ABC) = 12|PD|·|AB| + 12|PE|·|BC| + 12|PF|·|AC| (1)
A(ABP) = 12|AB|·|PD|, A(BCP) = 12|BC|·|PE| ve A(CAP) = 12|AC|·|PF| taban · yükseklik2.
- 5Çıkarım
|AB| = |BC| = |AC| olduğundan A(ABC) = 12|BC|·(|PD| + |PE| + |PF|)
(1) numaralı eşitlikte ortak kenar uzunluğu parantezine alınır.
- 6Çıkarım
A(ABC) = 12|AH|·|BC| (2)
Taban [BC], A köşesinden [BC]'ye indirilen yükseklik [AH] ile alan hesaplanır.
- 7Çıkarım
12|AH|·|BC| = 12|BC|·(|PD| + |PE| + |PF|)
(1) ve (2) denklemleri eşitlenir.
- 8Sonuç
|PD| + |PE| + |PF| = |AH|
Her iki taraftan 12|BC| sadeleştirilir.
Sonuç ∎
Eşkenar üçgende bir iç noktadan kenarlara indirilen dikmelerin toplamı: |PD| + |PE| + |PF| = |AH| elde edilir. ∎Eşkenar Üçgende Dikmelerin Toplamı Hakkında
Eşkenar üçgende dikmelerin toplamı teoremi — Viviani teoremi —, ABC eşkenar üçgeninde iç nokta P'den kenarlara indirilen dikmelerin toplamının sabit yüksekliğe eşit olduğunu söyler: |PD| + |PE| + |PF| = |AH|. TYT–AYT geometrinin klasik sonuçlarından biridir; ÖSYM'de eşkenar üçgen iç nokta sorularında sıkça karşılaşılır.
İspat, P noktasından kenarlara paralel doğrular çizerek alan bölme yöntemini kullanır. Eşkenar üçgen alanı ve paralel toplamı ispatlarıyla yakından ilişkilidir. Paralel toplamı teoremini bilmek faydalıdır.
AYT geometride Viviani teoremi, optimizasyon ve iç nokta sorularının geometrik versiyonlarında da anımsanır. Adım adım kanıtı okurken alan eşitliklerinin nasıl dikme toplamına dönüştüğünü takip etmek, benzer "sabit toplam" ispatlarını anlamanıza yardımcı olur.
Viviani teoremi, eşkenar üçgen sorularında en zarif iç nokta sonuçlarından biridir. TYT'de P noktası konumundan bağımsız olarak dikme toplamının sabit kaldığını bilmek, sayısal sorularda doğrudan sonuca gitmenizi sağlar. AYT'de optimizasyon ve minimum toplam sorularında da bu sabit toplam fikri anımsanır. İspatın alan bölme yöntemine dayanması, paralel toplamı ispatıyla ortak teknik paylaştığını gösterir.