Benzer Üçgenlerin Alan Oranı
Benzer iki üçgenin alanları oranının benzerlik oranının karesine eşit olduğunun alan formülü ve benzerlik özelliği ile ispatı.
Teorem
ABC ~ DEF, |BC||EF| = k, |AH| = h₁ ve |DL| = h₂ olmak üzere A(ABC)A(DEF) = k² dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
Benzer üçgenlerde karşılıklı yükseklik oranı benzerlik oranına eşittir; her iki alan taban·yükseklik2 ile yazılıp oran alınınca k² elde edilir.- 1Veri
ABC ~ DEF, |BC||EF| = k, |AH| = h₁ ve |DL| = h₂ olsun.
- 2Çıkarım
h₁h₂ = |BC||EF| = k
Benzer üçgenlerde karşılıklı yüksekliklerin oranı benzerlik oranına eşittir.
- 3Çıkarım
A(ABC) = 12·h₁·|BC|
ABC üçgeninde alan formülü — (1).
- 4Çıkarım
A(DEF) = 12·h₂·|EF|
DEF üçgeninde alan formülü — (2).
- 5Sonuç
A(ABC)A(DEF) = h₁h₂ · |BC||EF| = k · k = k²
(1) ve (2) taraf tarafa oranlanır; Adım 2 kullanılır.
Sonuç ∎
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir: A(ABC)A(DEF) = k². ∎Benzer Üçgenlerin Alan Oranı Hakkında
Benzer üçgenlerin alan oranı teoremi, ABC ~ DEF ve |BC||EF| = k iken A(ABC)A(DEF) = k2 bağıntısını verir. TYT–AYT geometrinin temel sonuçlarından biridir; ÖSYM'de benzerlik, alan oranı ve ölçek sorularında doğrudan uygulanır.
İspat, benzer üçgenlerde karşılıklı yükseklik oranının benzerlik oranına eşit olduğunu gösterir; her iki alan taban·yükseklik formülüyle yazılıp oranlanır. Benzerlik tanımını bilmek ön koşuldur. AYT geometride hacim benzerliği (k3) bu teoremin üç boyutlu uzantısıdır.
Adım adım ispatı takip ederken doğrusal oran (k) ile alan oranı (k2) farkına dikkat etmek, ÖSYM'de sık yapılan "uzunluk k ise alan ka?" tipi sorularda hata yapmanızı önler.
Alan oranı k2 kuralı, TYT–AYT'de benzerlik sorularının en sık test edilen sonucudur. ÖSYM'de "benzerlik oranı k ise alan oranı ka?" sorusu doğrudan k2 cevabını bekler. Doğrusal oran (k) ile alan oranı (k2) farkını karıştırmamak sınav başarısı için kritiktir. Benzerlik oranı k ise çevre oranı da k, alan oranı k2, hacim oranı k3'tür; TYT'de en sık karıştırılan nokta doğrusal ve karesel oran farkıdır.