Eşit Yükseklikte Üçgenlerin Alan Oranı
Aynı yüksekliğe sahip iki üçgenin alanları oranının tabanları oranına eşit olduğunun alan formülü ile ispatı.
Teorem
ABC bir üçgen, D ∈ [BC], |BD| = m, |DC| = n ve A köşesinden [BC] kenarına indirilen yükseklik h olmak üzere A(ABD)A(ADC) = mn dir.Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
ABD ve ADC üçgenleri aynı yüksekliği paylaşır; alan = 12·taban·yükseklik formülüyle oran alınınca h sadeleşir.- 1Veri
|BD| = m, |DC| = n ve A köşesinden [BC] kenarına indirilen yükseklik |AH| = h olsun.
- 2Çıkarım
A(ABD) = 12·m·h ve A(ADC) = 12·n·h
Her iki üçgende de alan = 12·taban·yükseklik formülü uygulanır.
- 3Sonuç
A(ABD)A(ADC) = mn
Adım 2 taraf tarafa oranlanır; 12·h payda sadeleşir.
Sonuç ∎
Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları oranı, tabanlarının oranına eşittir: A(ABD)A(ADC) = mn. ∎Eşit Yükseklikte Üçgenlerin Alan Oranı Hakkında
Eşit yükseklikte üçgenlerin alan oranı teoremi, D ∈ [BC], |BD| = m, |DC| = n ve ortak yükseklik h iken A(ABD)A(ADC) = mn bağıntısını verir. TYT geometrinin en pratik alan araçlarından biridir; ÖSYM'de alan oranı ve taban bölme sorularında doğrudan kullanılır.
İspat, ABD ve ADC üçgenlerinin aynı yüksekliği paylaştığını gösterir; alan = 12·taban·yükseklik formülüyle oran alınınca h sadeleşir. Üçgen alan formülünü bilmek yeterlidir.
AYT geometride ortak açı alan oranı ve benzer üçgen alan oranı bu temel sonucun genellenmeleridir. Adım adım ispatı takip ederken yüksekliğin neden ortak olduğuna dikkat etmek, yamuk ve paralelkenar alan bölme ispatlarında aynı mantığı uygulamanıza katkı sağlar.
A(ABD)A(ADC) = mn bağıntısı, TYT'de alan oranı sorularının en pratik kısayoludur. Ortak yükseklik mantığı, yamuk, paralelkenar ve eşit yükseklik alan sorularının temelidir. ÖSYM'de taban bölme oranı verildiğinde alan oranını doğrudan yazabilirsiniz. Taban oranı m:n verildiğinde alan oranını doğrudan yazmak TYT sorularında en hızlı yoldur; ortak yükseklik varsayımını ispat adımlarından öğrenmek benzer alan sorularında sistematik düşünmeyi sağlar.