Ağırlık Merkezinde KG = AD6
Kenarortay AD ile orta taban FE'nin K noktasında kesiştiği durumda |KG| = |AD|6 olduğunun benzerlik ve ağırlık merkezi oranları ile ispatı.
Teorem
ABC bir üçgen, [AD], [BE], [CF] kenarortay, G kenarortayların kesim noktası ve K = [FE] ∩ [AD] olmak üzere |KG| = |AD|6 dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
[FE] ∥ [BC] ve ağırlık merkezi oranları kullanılır; GBD ~ GEK benzerliği ile |KG||GD| = 12, |GD||AD| = 13 bulunup çarpılarak |KG| = |AD|6 elde edilir.- 1Veri
ABC bir üçgen, [AD], [BE], [CF] kenarortaylar, G kenarortayların kesim noktası ve K = [FE] ∩ [AD] olsun. D, E, F orta noktalardır.
- 2Çıkarım
|AF| = |FB| ve |AE| = |EC| olduğundan |AF||FB| = |AE||EC| dir.
F ve E orta nokta; Tales teoremiyle [FE] ∥ [BC].
- 3Çıkarım
|FE||BC| = 12 ve |GD||AG| = |GE||BG| = |GF||CG| = 12
Orta taban oranı ile Ağırlık Merkezi ve Kenarortaylar ispatından.
- 4Çıkarım
GBD ~ GEK ⇒ |GE||BG| = |KG||GD|
[FE] ∥ [BC] olduğundan karşılıklı açılar eşit; A.A. benzerlik.
- 5Çıkarım
|GE||BG| = 12⇒ |KG||GD| = 12
Adım 3'teki oran Adım 4'e yazılır — (1).
- 6Çıkarım
|GD||AG| = 12⇒ |GD||AD| = 13
|AD| = |AG| + |GD| ve |AG| = 2 · |GD| olduğundan — (2).
- 7Çıkarım
(1) ve (2) taraf tarafa çarpılırsa |KG||AD| = 16
|KG||GD| · |GD||AD| = 12 · 13.
- 8Sonuç
|KG| = |AD|6
Adım 7 düzenlenerek sonuç elde edilir.
Sonuç ∎
Ağırlık merkezinde [FE] ile [AD] kesişiminde |KG| = |AD|6 dir. ∎Ağırlık Merkezinde KG = AD/6 Hakkında
Ağırlık merkezinde KG = AD6 teoremi, ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, K = [FE] ∩ [AD] olmak üzere |KG| = |AD|6 bağıntısını verir. TYT–AYT geometride ağırlık merkezi ve kenarortay sorularının ileri düzeyinde yer alır.
İspat, [FE] ∥ [BC] ve ağırlık merkezi oranlarını kullanır; GBD ~ GEK benzerliği ile |KG||GD| = 12 elde edilir. Ağırlık merkezi–kenarortay ispatını önceden bilmek zorunludur. ÖSYM'de kenarortay üzerindeki özel noktalar ve oran sorularında bu bağıntı pratik bir araçtır.
Adım adım kanıtı takip ederken benzerlik oranlarının nasıl birleştirildiğine dikkat etmek, Stewart ve Seva ispatlarında benzer teknikleri uygulamanıza katkı sağlar.
|KG| = |AD|6 sonucu, ağırlık merkezi ve kenarortay sisteminin ince bir detayıdır. AYT'de kenarortay üzerindeki özel noktalar ve oran sorularında bu bağıntı kullanılabilir. İspatın GBD ~ GEK benzerliğine dayanması, ağırlık merkezi ispatındaki benzerlik tekniğinin devamı niteliğindedir. TYT'de doğrudan sorulmasa da, kenarortay sistemini derinlemesine anlamak için faydalı bir tamamlayıcı ispatır. Bu sonuç, kenarortay üzerindeki bölüm oranlarını ince ayarlı sorularda kullanılır; özellikle orta taban FE ile kenarortay AD kesişiminin konumunu belirler.