Ağırlık Merkezi ve Kenarortaylar
Bir üçgende kenarortayların kesim noktası G'nin, her kenarortayı köşeden 2, tabandan 1 birim olacak şekilde 12 oranında böldüğünün benzerlik ile ispatı.
Teorem
ABC bir üçgen, [AD], [BE], [CF] kenarortay ve G kenarortayların kesim noktası olmak üzere |GD||AG| = |GE||BG| = |GF||CG| = 12 dir.Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
Orta noktalar F ve E birleştirilerek FE ∥ BC gösterilir; AFE ~ ABC ile FEBC = 12 bulunur, FGE ~ CGB benzerliği ile |GE||GB| = 12 elde edilir; aynı yöntem diğer kenarortaylara uygulanır.- 1Veri
ABC bir üçgen, [AD], [BE], [CF] kenarortaylar ve G kenarortayların kesim noktası olsun. D ∈ [BC], E ∈ [AC], F ∈ [AB] orta noktalardır.
- 2Yapı
F ve E noktalarını birleştiren [FE] doğru parçası çizilir.
Yardımcı doğru inşası
- 3Çıkarım
|AF| = |FB| ve |AE| = |EC| olduğundan |AF||FB| = |AE||EC| dir.
F ve E orta nokta olduğundan eşit parçaların oranı 1'dir; Tales teoremiyle [FE] ∥ [BC].
- 4Çıkarım
AFE ~ ABC ⇒ |AF||AB| = |FE||BC| = 12
FE ∥ BC olduğundan karşılıklı açılar eşit; A.A. benzerlik.
- 5Çıkarım
FGE ~ CGB ⇒ |FE||BC| = |GE||GB|
FE ∥ BC olduğundan FGE ile CGB benzer; A.A. benzerlik.
- 6Çıkarım
|FE||BC| = 12⇒ |GE||GB| = 12
Adım 4'teki oran Adım 5'e yazılır.
- 7Sonuç
Aynı yöntemle |GD||AG| = |GF||CG| = 12 elde edilir.
Benzer inşa ve benzerlik, diğer kenarortay çiftlerine uygulanır.
Sonuç ∎
Kenarortayların kesim noktası G, her kenarortayı köşeden 2, tabandan 1 birim olacak şekilde böler: |GD||AG| = |GE||BG| = |GF||CG| = 12. ∎Ağırlık Merkezi ve Kenarortaylar Hakkında
Ağırlık merkezi ve kenarortaylar teoremi, ABC üçgeninde [AD], [BE], [CF] kenarortayların G noktasında kesişmesi ve |GD||AG| = |GE||BG| = |GF||GC| = 12 olduğunu ifade eder. TYT–AYT geometrinin temel sonuçlarından biridir; ÖSYM'de ağırlık merkezi, kenarortay oranı ve alan bölme sorularında doğrudan kullanılır.
İspat, orta noktalar F ve E birleştirilerek FE ∥ BC gösterilir; AFE ~ ABC benzerliği ile FEBC = 12 bulunur, FGE ~ CGB ile oran türetilir. Benzerlik ve paralel doğru özelliklerini bilmek ön koşuldur.
AYT geometride Seva teoremi, Carnot teoremi ve Stewart bağıntısı ispatlarında ağırlık merkezi oranları ara adım olarak devreye girer. Adım adım kanıtı takip ederken orta taban benzerliğinin rolünü not etmek, kenarortay ispatlarının tamamını anlamanıza yardımcı olur.
Ağırlık merkezi oranları (2:1), TYT–AYT geometrinin en sık kullanılan oranlarından biridir. ÖSYM'de kenarortay üzerinde G noktasının konumu sorulduğunda |GD||AG| = 12 doğrudan yazılır. Seva teoremi ile ağırlık merkezi kesişiminin doğruluğu da bu oranlardan türetilir. İspatın orta taban benzerliğine dayanması, paralelkenar ve yamuk orta taban ispatlarıyla ortak teknik paylaştığını gösterir.