Yükseklik ve Açıortay Arasındaki Açı
Bir üçgende aynı köşeden çizilen yükseklik ile açıortay arasındaki α açısının, diğer iki iç açının farkının yarısına eşit olduğunun ispatı.
Teorem
ABC üçgeninde [AH] yükseklik, [AN] A köşesinin açıortayı ve m(HÂN) = α olmak üzere α = |m(ABC) − m(ACB)|2'dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
ABH ve AHC dik üçgenlerinde x + y = 90° ile m(HÂC) = 2α + x kullanılıp (2α + x) + z = 90° eşitliklerini taraf tarafa çıkarma.- 1Veri
ABC bir üçgen, [AH] ⊥ [BC], [AN] A köşesinin açıortayı ve m(HÂN) = α olsun. m(BAH) = x, m(ABC) = y, m(ACB) = z.
- 2Çıkarım
m(BAN) = m(NAC) = x + α
m(BAH) = x ve m(HAN) = α olduğundan m(BAN) = x + α; [AN] açıortay olduğundan m(NAC) = m(BAN).
- 3Çıkarım
x + y = 90°
ABH dik üçgeninde H'deki dik açı ile birlikte x + y = 90° — (1)
- 4Çıkarım
m(HÂC) = 2α + x
m(HÂC) = m(HÂN) + m(NAC) = α + (x + α) olduğundan
- 5Çıkarım
(2α + x) + z = 90°
AHC dik üçgeninde iç açılar toplamı — (2)
- 6Çıkarım
2α + z − y = 0
(2) − (1) işlemiyle x ve 90° terimleri birbirini götürür.
- 7Çıkarım
α = y − z2
Adım 6'da 2α = y − z elde edilir ve her iki taraf 2'ye bölünür.
- 8Çıkarım
α = |y − z|2
Şekilde y > z iken α = y − z2; z > y durumunda α = z − y2 olur. Her iki durum |y − z|2 ile yazılır.
- 9Sonuç
α = |m(ABC) − m(ACB)|2
y = m(ABC) ve z = m(ACB) olduğundan sonuç genellenir.
Sonuç ∎
Yükseklik ile açıortay arasındaki açı α = |m(ABC) − m(ACB)|2'dir. ∎Yükseklik ve Açıortay Arasındaki Açı Hakkında
Yükseklik ve açıortay arasındaki açı teoremi, ABC üçgeninde [AH] yükseklik ile [AN] açıortay arasındaki m(HÂN) = α açısının |m(ABC) - m(ACB)|2 olduğunu belirtir. TYT–AYT geometride yükseklik–açıortay kombinasyonlu soruların temelidir; ÖSYM'de özellikle ikizkenar olmayan üçgenlerde α açısını hesaplama sorularında kullanılır.
İspat, ABH ve AHC dik üçgenlerinde x + y = 90° ile m(HÂC) = 2α + x eşitliklerini birleştirir. İç açılar toplamı ve dik üçgen açı özelliklerini bilmek ön koşuldur. AYT tarafında açıortay α açısı ispatlarıyla birlikte okunduğunda yükseklik–açıortay ilişkisinin tam resmi ortaya çıkar.
Adım adım kanıtı takip ederken dik üçgenlerdeki tamamlayıcı açıları nasıl kullandığına dikkat etmek, benzer "α cinsinden ifade" ispatlarını kendi başınıza yazabilmenize katkı sağlar.
\alpha = |B - C|2 formülü, yükseklik ile açıortayın aynı köşeden çıktığı durumlarda aralarındaki açıyı hızlıca bulmanızı sağlar. TYT'de ikizkenar olmayan üçgenlerde bu bağıntı özellikle kullanışlıdır; taban açıları farklı olduğunda α sıfırdan büyük çıkar. AYT'de açıortay–yükseklik kombinasyonlu ileri sorularda dik üçgen kurmak için bu açı değeri kritik bilgidir. İspatın ABH ve AHC dik üçgenlerindeki tamamlayıcı açı adımlarını takip etmek, benzer α cinsinden ifade ispatlarını anlamanıza yardımcı olur.