İki Dış Açıortay Arasındaki Açı
Bir üçgende iki dış açıortayın kesişim noktasında oluşan açının, 90° ile A köşesinin yarısı farkına eşit olduğunun ispatı.
Teorem
ABC üçgeninde [DB] ve [DC] dış açıortaylar, D noktasında kesişir. m(BD̂C) = α olmak üzere α = 90° − m(A)2'dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
ABC üçgeninde B ve C iç açılarını dış açıortay parçaları (x, y) cinsinden yazıp, BDC üçgeniyle birleştirerek taraf tarafa toplama.- 1Veri
ABC ve BDC üçgenler, [DB] ve [DC] dış açıortaylar; m(BD̂C) = α.
- 2Veri
B köşesinde dış açıortay iki eş açı x, C köşesinde iki eş açı y oluşturur.
Dış açıortay tanımı
- 3Çıkarım
m(ABC) = 180° − 2x ve m(BCA) = 180° − 2y
B ve C köşelerinde iç açı ile dış açı toplamı 180°'dir.
- 4Çıkarım
m(A) + (180° − 2x) + (180° − 2y) = 180°
ABC üçgeninde iç açılar toplamı
- 5Çıkarım
m(A)2 − x − y = −90°
Adım 4 düzenlenip her iki taraf 2'ye bölünür — (1)
- 6Çıkarım
x + y + α = 180°
BDC üçgeninde iç açılar toplamı — (2)
- 7Çıkarım
α + m(A)2 = 90°
(1) ve (2) taraf tarafa toplanır; x ve y terimleri birbirini götürür.
- 8Sonuç
α = 90° − m(A)2
m(A)2 terimi karşı tarafa geçirilerek sonuç elde edilir.
Sonuç ∎
İki dış açıortay arasındaki açı α = 90° − m(A)2'dir. ∎İki Dış Açıortay Arasındaki Açı Hakkında
İki dış açıortay arasındaki açı teoremi, ABC üçgeninde [DB] ve [DC] dış açıortaylarının D noktasında kesişmesi durumunda m(BD̂C) = α = 90° − m(A)2 olduğunu belirtir. TYT–AYT geometride dış açıortay merkezi (excenter) ile ilgili soruların temelidir; özellikle dar açılı üçgenlerde dış açıortayların kesişim açısı A köşesinin ölçüsüyle doğrudan ilişkilidir.
İspat, ABC üçgeninde B ve C iç açılarını dış açıortay parçaları cinsinden yazıp BDC üçgeniyle birleştirir. ÖSYM sorularında dış açıortay–iç açıortay kombinasyonları ve α açısı hesaplamalarında bu formül sıkça devreye girer. İç açılar toplamı ve dış açı teoremi ön koşullardır.
İki iç açıortay arasındaki açı ispatıyla birlikte okunduğunda (90° + A2 ile 90° − A2) açıortay sisteminin simetrik yapısı netleşir. Adım adım kanıtı takip ederken dış açıortay parçalarının nasıl tanımlandığına dikkat etmek, benzer ispatları kendi başınıza yazabilmenizi sağlar.
α = 90° − A2 sonucu, dış açıortay merkezinin (excenter) konumunu belirler. TYT'de dış açıortay sorularında A köşesi açısı ile kesişim açısı arasındaki ilişkiyi bilmek, yardımcı çizgi kurmadan sonuca ulaşmanızı sağlar. İki iç açıortay arasındaki açı ispatıyla birlikte okunduğunda açıortay sisteminin simetrik yapısı netleşir. ÖSYM sorularında genellikle dar açılı üçgenler sorusu geldiğinden α'nın 90°'den küçük olacağını sezgisel olarak kontrol edebilirsiniz.