Üçgende Tabana İç Teğet Karenin Taban Bağıntısı
ABC üçgeninde DEFG tabana iç teğet kare (kenar x), [AH] ⊥ [BC] ve |AH| = y iken |BC| = y · xy - x bağıntısının benzerlik ile ispatı.
Teorem
ABC bir üçgen; DEFG bir kenarı x olan tabana iç teğet kare, [AH] ⊥ [BC], |AH| = y ise |BC| = y · xy - x dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
Kare yapısından [DG] // [BC] ve [FG] // [AH] alınır; |AP| = y − x, |PH| = x yazılıp △ADG ~ △ABC benzerliği ile taban uzunluğu bulunur.- 1Veri
ABC bir üçgen; DEFG tabana iç teğet kare (|DE| = |EF| = |FG| = |GD| = x), [AH] ⊥ [BC], |AH| = y olsun
Veri; P = [AH] ∩ [DG].
- 2Çıkarım
DEFG kare olduğundan [DG] // [BC], [FG] // [AH]; [AP] ⊥ [DG], |DG| = |PH| = x, |AP| = y − x
Kare kenarları ve yükseklik doğrultusu; P, [AH] ile [DG] kesişimi.
- 3Çıkarım
△ADG ~ △ABC
[DG] // [BC] olduğundan m(D) = α, m(G) = β; A.A. benzerlik.
- 4Çıkarım
△ADG ~ △ABC ⇒ |AP||AH| = |DG||BC| ⇒ y - xy = x|BC|
Benzer üçgenlerde karşılıklı yükseklik ve taban oranları eşittir.
- 5Sonuç
|BC| = y · xy - x
Adım 4 denklemi |BC| için düzenlenir.
Sonuç ∎
Tabana iç teğet kare bağıntısı: |BC| = y · xy - x elde edilir. ∎Üçgende Tabana İç Teğet Karenin Taban Bağıntısı Hakkında
Üçgende tabana iç teğet karenin taban bağıntısı, DEFG tabana iç teğet kare (kenar x), |AH| = y yükseklik iken |BC| = y·xy − x formülünü verir. TYT–AYT geometride iç teğet kare ve benzerlik sorularının klasik sonucudur.
İspat, kare yapısından [DG] // [BC] ve [FG] // [AH] alınır; |AP| = y − x, |PH| = x yazılıp △ADG ~ △ABC benzerliği kurulur. Benzerlik ve alan formülünü bilmek ön koşuldur. ÖSYM'de tabana iç teğet kare sorularında bu bağıntı doğrudan uygulanır.
Adım adım kanıtı takip ederken benzerlik oranının nasıl taban formülüne dönüştüğüne dikkat etmek, dik üçgen teğet alan formülüyle birlikte okunduğunda teğet yapılarının tutarlılığını görmenizi sağlar.
|BC| = yxy − x formülü, TYT–AYT'de tabana iç teğet kare sorularının standart çözüm bağıntısıdır. Benzerlik (△ADG ~ △ABC) ispatın anahtar adımıdır. ÖSYM'de kare kenarı x ve yükseklik y verildiğinde taban uzunluğu bu formülle bulunur. Tabana iç teğet kare sorularında benzerlik oranını kurmak ispatın kalbidir; |BC| = yxy−x formülünü türetmeden önce △ADG ~ △ABC benzerliğini netleştirmek gerekir.