İç ve Dış Açıortayda α Açısı
B köşesinde iç, C köşesinde dış açıortayın kesişiminde oluşan α açısının, A köşesinin yarısına eşit olduğunun ispatı.
Teorem
ABC üçgeninde [DB] iç açıortay, [DC] dış açıortay ve m(BD̂C) = α olmak üzere α = m(A)2'dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
C köşesinde dış açı teoremi ile y'yi x ve m(A) cinsinden yazıp, DBC üçgenindeki y = x + α eşitliğiyle taraf tarafa çıkarma.- 1Veri
ABC ve DBC üçgenler; [DB] iç açıortay, [DC] dış açıortay ve m(BD̂C) = α.
- 2Veri
B köşesinde iç açıortay iki eş açı x, C köşesinde dış açıortay iki eş açı y oluşturur.
Açıortay tanımı
- 3Çıkarım
2y = m(A) + 2x
C köşesinde dış açı teoremi: dış açı, karşısındaki iki iç açının toplamına eşittir.
- 4Çıkarım
y = x + m(A)2
Adım 3'te her iki taraf 2'ye bölünür — (1)
- 5Çıkarım
y = x + α
DBC üçgeninde m(DCB) = 180° − y olduğundan x + α + (180° − y) = 180° — (2)
- 6Çıkarım
m(A)2 − α = 0
(1) − (2) işlemiyle x ve y terimleri birbirini götürür.
- 7Sonuç
α = m(A)2
Son eşitlik düzenlenerek teorem elde edilir.
Sonuç ∎
İç ve dış açıortay kesişiminde m(BD̂C) = α = m(A)2'dir. ∎İç ve Dış Açıortayda α Açısı Hakkında
İç ve dış açıortayda α açısı teoremi, ABC üçgeninde [DB] iç açıortay ile [DC] dış açıortayın oluşturduğu m(BD̂C) = α = m(A)2 bağıntısını verir. TYT–AYT geometride açıortay sorularının en zarif sonuçlarından biridir; ÖSYM'de "α açısını A cinsinden bulunuz" tipi sorularda doğrudan uygulanır.
İspat, C köşesinde dış açı teoremi ile iç açıortay eş açılarını birleştirir. İç–dış açıortay dikliği ve iki iç/dış açıortay arasındaki açı ispatlarının ortak noktasıdır. Ön koşul olarak dış açı teoremi ve açıortay tanımını bilmek gerekir.
AYT geometride açıortay–çevrel çember bağıntısı gibi ileri teoremlerde de α = A2 sonucu ara adım olarak kullanılır. Adım adım ispatı okurken hangi açının dış açı, hangisinin iç açıortay parçası olduğunu ayırt etmek, karmaşık açıortay şekillerinde doğru bağıntıyı kurmanızı sağlar.
α = A2 bağıntısı, açıortay sorularında en sık kullanılan kısa yollardan biridir. TYT'de şekilde iç ve dış açıortay birlikte verildiğinde BD̂C açısını doğrudan A2 olarak yazabilirsiniz. AYT'de çevrel çember üzerinde açıortay sorularında da bu sonuç ara adım olarak devreye girer. İspatı takip ederken dış açı teoremi adımının neden C köşesinde uygulandığına dikkat etmek, benzer açıortay ispatlarını kendi başınıza yazabilmenize katkı sağlar.