Eşkenar Üçgende Paralel Uzunluklar Toplamı
Eşkenar ABC üçgeninin bir iç noktası P'den kenarlara çizilen paralellerin uzunlukları toplamının üçgenin bir kenar uzunluğuna eşit olduğunun ispatı.
Teorem
ABC bir eşkenar üçgen, P üçgenin bir iç noktası, D ∈ [AB], E ∈ [AC], F ∈ [BC], [DP] // [AC], [EP] // [BC], [FP] // [AB] ise |DP| + |EP| + |FP| = |AB| dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
[FP] ve [DP] doğruları kenarlara uzatılarak ADPM ve EPNC paralelkenarları ile MPE, FPN eşkenar üçgenleri elde edilir; segment toplamları birleştirilir.- 1Veri
ABC bir eşkenar üçgen, P üçgenin bir iç noktası, D ∈ [AB], E ∈ [AC], F ∈ [BC], [DP] // [AC], [EP] // [BC], [FP] // [AB] olsun.
Veri ve tanımlar
- 2Yapı
[FP] doğrusu üzerinde M ∈ [AC] olacak biçimde [PM] doğru parçası çizelim.
Yardımcı yapı — [FP] // [AB] olduğundan M, [AC] üzerindedir.
- 3Çıkarım
ADPM bir paralelkenardır; |PD| = |MA| (1)
[DP] // [AM] ve [AP] // [DM] (paralellikten karşılıklı kenarlar eşit).
- 4Çıkarım
MPE bir eşkenar üçgendir; |PE| = |ME| (2)
[EP] // [BC] ve ABC eşkenar olduğundan MPE'nin tüm iç açıları 60° dir.
- 5Yapı
[DP] doğrusu üzerinde N ∈ [BC] olacak biçimde [PN] doğru parçası çizelim.
Yardımcı yapı — [DP] // [AC] olduğundan N, [BC] üzerindedir.
- 6Çıkarım
FPN bir eşkenar üçgendir; |PF| = |PN| (3)
[FP] // [AB] ve ABC eşkenar olduğundan FPN'nin tüm iç açıları 60° dir.
- 7Çıkarım
EPNC bir paralelkenardır; |PN| = |EC| (4)
[EP] // [NC] ve [EN] // [PC] (paralellikten karşılıklı kenarlar eşit).
- 8Çıkarım
|PD| + |PE| + |PF| + |PN| = |MA| + |ME| + |PN| + |EC|
(1), (2), (3) ve (4) numaralı eşitlikler taraf tarafa toplanır.
- 9Çıkarım
|PD| + |PE| + |PF| = |MA| + |ME| + |EC|
Her iki taraftan |PN| sadeleştirilir.
- 10Çıkarım
|MA| + |ME| + |EC| = |AC|
A, M, E, C doğrusal ve M ∈ [AE], E ∈ [AC] olduğundan segmentler toplanır.
- 11Sonuç
|DP| + |EP| + |FP| = |AB|
Adım 9 ve 10 birleştirilir; ABC eşkenar olduğundan |AC| = |AB|.
Sonuç ∎
Eşkenar üçgende iç noktadan kenarlara çizilen paralellerin uzunlukları toplamı: |DP| + |EP| + |FP| = |AB| elde edilir. ∎Eşkenar Üçgende Paralel Uzunluklar Toplamı Hakkında
Eşkenar üçgende paralel uzunluklar toplamı teoremi, ABC eşkenar üçgeninde iç nokta P'den kenarlara paralel çizildiğinde |DP| + |EP| + |FP| = a (kenar uzunluğu) bağıntısını verir. TYT–AYT geometride eşkenar üçgen ve paralelkenar sorularının zarif bir birleşimidir.
İspat, paralelkenar ve eşkenar üçgen inşasına dayanır: [FP] ve [DP] doğruları uzatılarak ADPM ve EPNC paralelkenarları ile MPE, FPN eşkenar üçgenleri elde edilir. ÖSYM'de eşkenar üçgen iç nokta ve paralel segment sorularında bu toplam kuralı hızlı sonuç verir. Eşkenar üçgen özelliklerini bilmek ön koşuldur.
Viviani teoremi (dikmeler toplamı) ile birlikte okunduğunda eşkenar üçgende iç noktanın iki farklı ölçümle nasıl sabit toplam verdiği görülür. Adım adım ispatı takip ederken paralelkenar kenar eşitliklerinin nasıl toplamı sadeleştirdiğini izlemek, benzer inşa tekniklerini kendi sorularınızda kullanmanıza katkı sağlar.
Paralel toplamı teoremi, eşkenar üçgende iç noktanın "sabit toplam" özelliğinin paralel versiyonudur. TYT–AYT'de eşkenar üçgen iç nokta sorularında |DP| + |EP| + |FP| = a bağıntısı hızlı sonuç verir. İspatın paralelkenar inşasına dayanması, geometrik dönüşüm becerisini geliştirir. Viviani teoremi (dikme toplamı) ile birlikte okunduğunda eşkenar üçgende iç noktanın farklı ölçümlerle aynı sabit değeri verdiği görülür.