d₁ // d₂ iken aralarında kırık giden bir doğrunun kırılma açısının, paralel doğrularla yaptığı açıların toplamına eşit olduğunun ispatı.
Teorem
d₁ // d₂ ve KL, LM kırık doğrusu verildiğinde m(PK̂L) = x, m(KL̂M) = z, m(LM̂N) = y olmak üzere x + y = z'dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
İspat Yöntemi
L noktasından d₁ ve d₂'ye paralel yardımcı doğru çizerek iç ters açı özelliğini iki kez uygulama.d₁ // d₂, K ∈ d₁, M ∈ d₂ ve KL, LM kırık doğrusudur. m(PK̂L) = x, m(KL̂M) = z, m(LM̂N) = y.
L noktasından d₁ // d₃ // d₂ olacak şekilde d₃ doğrusu çizilir.
Yardımcı paralel doğru inşası
d₃ // d₁ olduğundan KL keseni ile oluşan iç ters açılar eşittir: ∠(PK̂L) = ∠(d₃ ile KL arasındaki açı) = x.
İç ters açı özelliği — d₃ // d₁, KL keseni
d₃ // d₂ olduğundan LM keseni ile oluşan iç ters açılar eşittir: ∠(LM̂N) = ∠(d₃ ile LM arasındaki açı) = y.
İç ters açı özelliği — d₃ // d₂, LM keseni
z = x + y
Adım 3 ve 4'teki iki açı, d₃ doğrusunun aynı tarafında birleşerek z açısını oluşturur.
Sonuç ∎
d₁ // d₂ iken KL ve LM kırık doğrusu için kırılma açısı z = x + y'dir. ∎