Üç Paralel Doğru Bağıntısı
Aynı doğrultuda üç paralel doğru parçasının uzunlukları x, y, z arasında 1x = 1y + 1z bağıntısının benzerlik ile ispatı.
Teorem
B-E-C doğrusal, F = AC ∩ BD, [AB] // [FE] // [CD] olmak üzere |FE| = x, |AB| = y, |DC| = z iken 1x = 1y + 1z dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
Paralellikten CDF ~ ABF ve BDC ~ BFE benzerlikleri kurulur; elde edilen oranlar birleştirilerek harmonik bağıntı elde edilir.- 1Veri
B-E-C doğrusal, F = AC ∩ BD, [AB] // [FE] // [CD] olmak üzere |FE| = x, |AB| = y, |DC| = z, |BF| = m, |FD| = n olsun.
- 2Çıkarım
nm = zy
CDF ~ ABF (paralellikten A-A benzerliği) — (1).
- 3Çıkarım
m+nm = zx ⇒ 1 + nm = zx
BDC ~ BFE (paralellikten A-A benzerliği) — (2).
- 4Çıkarım
1 + zy = zx
(1)'deki nm = zy değeri (2)'ye yerine yazılır.
- 5Sonuç
1x = 1y + 1z
Adım 4 her iki taraf z'ye bölünerek sadeleştirilir.
Sonuç ∎
Üç paralel doğru bağıntısı: 1x = 1y + 1z dir. ∎Üç Paralel Doğru Bağıntısı Hakkında
Üç paralel doğru bağıntısı, B–E–C doğrusal ve [AB] // [FE] // [CD] iken ortadaki paralel parçanın uzunluğunun harmonik ortalama formülünü verir: |FE| = x, |AB| = y, |CD| = z olmak üzere 1x = 1y + 1z. Bu sonuç, TYT–AYT geometride oran–paralellik sorularının ileri uçlarında yer alır ve Tales benzerliğiyle yakından ilişkilidir.
Sayfadaki ispat, CDF ~ ABF ve BDC ~ BFE benzerliklerini kurarak oranları birleştirir. ÖSYM sorularında üç paralel doğru, orta taban ve yamuk orta taban kavramları bu bağıntıyla birleştirilebilir; özellikle ortadaki parçanın iki uç parçadan daha kısa olduğu durumları sayısal olarak kontrol etmek için harmonik ortalama formülü kullanışlıdır.
Paralel doğru ispatlarına ve benzerlik temeline hakim olmak önemlidir. AYT geometride harmonik ortalama, fizik ve analitik geometriye köprü kuran nadir lise konularından biridir; bu ispatı anlamak, oran eşitliklerini cebirsel olarak manipüle etme pratiği kazandırır.
Harmonik ortalama formülü, fizikte paralel dirençler ve optikte mercek formüllerinde de görülür; geometrik karşılığı tam olarak bu üç paralel doğru yapısıdır. TYT'de ortadaki parçanın her iki uç parçadan kısa olduğunu sayısal olarak doğrulamak için 1x = 1y + 1z bağıntısını kullanabilirsiniz. Yamuk orta taban ve paralel kesim sorularında benzer oran yapıları kurulduğunda harmonik ortalama bağlantısını fark etmek, soruyu daha hızlı çözmenize yardımcı olur.